Геометрия 7-11 (вопросы)

Информация о материале
Опубликовано: 17 января 2019

 

 

 

 

 

Геометрия. Учебник для 7-9 классов.  Погорелов А.В.  
http://www.alleng.ru/d/math/math63_1.htm
ОГЛАВЛЕНИЕ вопросы

 7 КЛАСС

§ 1. Основные свойства простейших геометрических фигур

 

  
1. Геометрические фигуры  
2. Точка и прямая  
3. Отрезок  
4. Измерение отрезков  
5. Полуплоскости  
6. Полупрямая  
7. Угол  
8. Откладывание отрезков и углов  
9. Треугольник  
10. Существование треугольника, равного данному  
11. Параллельные прямые  
12. Теоремы и доказательства  
13. Аксиомы  
Контрольные вопросы
1.       Приведите примеры геометрических фигур
  2.       Назовите основные геометрические фигуры на плоскости
  3.       Как обозначаются точки и прямые?
  4.       Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых
  5.       Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках
  6.       Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой
  7.       Сформулируйте основные свойства измерения отрезков
  8.       Что называется расстоянием между двумя данными точками?
  9.       Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости?
  10.   Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости
  11.   Что такое полупрямая, или луч? Какие полупрямые называются дополнительными?
  12.   Как обозначаются полупрямые?
  13.   Какая фигура называется углом?
  14.   Как обозначается угол?
  15.   Какой угол называется развернутым?
  16.   Объясните, что означает выражение: «полупрямая проходит между сторонами угла»
  17.   В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инструмента? Объясните, как проводится измерение
  18.   Сформулируйте основные свойства измерения углов
  19.   Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов
  20.   Что такое треугольник?
  21.   Что такое угол треугольника при данной вершине?
  22.   Какие отрезки называются равными?
  23.   Какие углы называются равными?
  24.   Какие треугольники называются равными?
  25.   Как на рисунке отмечаются у равных треугольников соответствующие стороны и углы?
  26.   Объясните по рисунку 23 существование треугольника, равного данному
  27.   Какие прямые называются параллельными? Какой знак используется для обозначения параллельности прямых?
  28.   Сформулируйте основное свойство параллельных прямых
  29.   Приведите пример теоремы
  30.   Какие геометрические фигуры можно увидеть на фотографиях (с. 4-15)? Приведите другие примеры геометрических фигур
Задачи

§ 2. Смежные и вертикальные углы

 

  
14. Смежные углы  
15. Вертикальные углы  
16. Перпендикулярные прямые  
17. Доказательство от противного  
18. Биссектриса угла  
19. Что надо делать, чтобы успевать по геометрии  
Контрольные вопросы
  1.       Какие углы называются смежными?
  2.       Докажите, что сумма смежных углов равна 180°
  3.       Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны
  4.       Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
  5.       Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол
  6.       Какие углы называются вертикальными?
  7.       Докажите, что вертикальные углы равны
  8.       Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые
  9.       Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения перпендикулярности прямых?
  10.   Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну
  11.   Что такое перпендикуляр к прямой?
  12.   Объясните, в чем состоит доказательство от противного
  13.   Что называется биссектрисой угла?
  14.   Какие геометрические фигуры можно увидеть на фотографиях (с. 22-26)? Приведите свои примеры геометрических фигур
Задачи  

§ 3. Признаки равенства треугольников

 

  
20. Первый признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними  
21. Использование аксиом при доказательстве теорем  
22. Второй признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам  
23. Равнобедренный треугольник  
24. Обратная теорема  
25. Высота, биссектриса и медиана треугольника  
26. Свойство медианы равнобедренного треугольника  
27. Третий признак равенства треугольников по трём сторонам  
28. Как готовиться по учебнику самостоятельно  
Контрольные вопросы
  1.       Докажите первый признак равенства треугольников. Какие аксиомы используются при доказательстве теоремы 3.1?
  2.       Сформулируйте и докажите второй признак равенства треугольников
  3.       Какой треугольник называется равнобедренным? Какие стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами? Какая сторона называется основанием?
  4.       Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны
  5.       Какой треугольник называется равносторонним?
  6.       Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный
  7.       Объясните, что такое обратная теорема. Приведите пример. Для всякой ли теоремы верна обратная?
  8.       Что такое высота треугольника?
  9.       Что такое биссектриса треугольника?
  10.   Что такое медиана треугольника?
  11.   Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой
  12.   Докажите третий признак равенства треугольников
  13.   Какие геометрические фигуры можно увидеть на фотографиях (с.29-32)? Приведите свои примеры геометрических фигур.
Задачи  

§ 4. Сумма углов треугольника

 

  
29. Параллельность прямых  
30. Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей  
31. Признак параллельности прямых  
32. Свойство углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей  
33. Сумма углов треугольника  
34. Внешние углы треугольника  
35. Прямоугольный треугольник  
36. Существование и единственность перпендикуляра к прямой  
37. Из истории возникновения геометрии  
Контрольные вопросы
  1.       Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны
  2.       Объясните, какие углы называются внутренними односторонними. Какие углы называются внутренними накрест лежащими?
  3.       Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонних углов каждой пары равна 180°
  4.       Докажите признак параллельности прямых
  5.       Объясните, какие углы называются соответственными. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то соответственные углы тоже равны, и наоборот
  6.       Докажите, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую. Сколько прямых, параллельных данной, можно провести через точку, не лежащую на этой прямой?
  7.       Докажите, что если две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°
  8.       Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой
  9.       Докажите, что сумма углов треугольника равна 180°
  10.   Докажите, что у любого треугольника по крайней мере два угла острые
  11.   Что такое внешний угол треугольника?
  12.   Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним
  13.   Докажите, что внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним
  14.   Какой треугольник называется прямоугольным (остроугольным, тупоугольным)?
  15.   Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?
  16.   Какая сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой? Какие стороны называются катетами?
  17.   Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников
  18.   Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один
  19.   Что называется расстоянием от точки до прямой?
  20.   Объясните, что такое расстояние между параллельными прямыми
Задачи  

§ 5. Геометрические построения

 

  
38. Окружность  
39. Окружность, описанная около треугольника  
40. Касательная к окружности  
41. Окружность, вписанная в треугольник  
42. Что такое задачи на построение  
43. Построение треугольника с данными сторонами  
44. Построение угла, равного данному  
45. Построение биссектрисы угла  
46. Деление отрезка пополам  
47. Построение перпендикулярной прямой  
48. Геометрическое место точек  
49. Метод геометрических мест  
Контрольные вопросы
  1.       Что такое окружность, центр окружности, радиус?
  2.       Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром?
  3.       Какая окружность называется описанной около треугольника?
  4.       Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
  5.       Какая прямая называется касательной к окружности?
  6.       Что значит: окружности касаются в данной точке?
  7.       Какое касание окружностей называется внешним, какое – внутренним?
  8.       Какая окружность называется вписанной в треугольник?
  9.       Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис
  10.   Объясните, как построить треугольник по трем сторонам
  11.   Объясните, как отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу
  12.   Объясните, как разделить данный угол пополам
  13.   Объясните, как разделить отрезок пополам
  14.   Объясните, как через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой
  15.   Что представляет собой геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек?
  16.   Какие геометрические фигуры можно увидеть на фотографиях (с. 43-60)? Приведите свои примеры геометрических фигур
Задачи  

8 КЛАСС

 

§ 6. Четырёхугольники

 

  
50. Определение четырёхугольника  
51. Параллелограмм  
52. Свойство диагоналей параллелограмма  
53. Свойство противолежащих сторон и углов параллелограмма  
54. Прямоугольник  
55. Ромб  
56. Квадрат  
57. Теорема Фалеса  
58. Средняя линия треугольника  
59. Трапеция  
60. Пропорциональные отрезки  
61. Замечательные точки в треугольнике  
Контрольные вопросы
  1.       Какая фигура называется четырехугольником?
  2.       Какие вершины четырехугольника называются соседними,  какие – противолежащими?
  3.       Что такое диагонали четырехугольника?
  4.       Какие стороны четырехугольника называются соседними? Какие называются противолежащими?
  5.       Как обозначается четырехугольник?
  6.       Что такое параллелограмм?
  7.       Докажите, что если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом
  8.       Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
  9.       Докажите, что у параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны
  10.   Что такое прямоугольник?
  11.   Докажите, что диагонали прямоугольника равны
  12.   Что такое ромб?
  13.   Докажите, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом; диагонали ромба являются биссектрисами его углов
  14.   Что такое квадрат? Перечислите свойства квадрата
  15.   Докажите теорему Фалеса
  16.   Докажите, что средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны
  17.   Какой четырехугольник называется трапецией?
  18.   Какая трапеция называется равнобокой?
  19.   Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований
  20.   Докажите теорему о пропорциональных отрезках
  21.   Что такое ортоцентр треугольника и окружность Эйлера?
  22.   Докажите, что середины сторон треугольника, середины отрезков, соединяющих его ортоцентр с вершинами, и основания высот треугольника лежат на окружности Эйлера
  23.   Какие геометрические фигуры можно увидеть на фотографиях (с. 72-82)? Приведите свои примеры геометрических фигур
Задачи  

§ 7. Теорема Пифагора

 

  
62. Косинус угла  
63. Теорема Пифагора  
64. Египетский треугольник  
65. Перпендикуляр и наклонная  
66. Неравенство треугольника  
67. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике  
68. Основные тригонометрические тождества  
69. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов  
70. Изменение синуса, косинуса, тангенса и котангенса при возрастании угла  
Контрольные вопросы
  1.       Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника
  2.       Докажите, что косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника
  3.       Докажите теорему Пифагора
  4.       Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов
  5.       Докажите, что cos α < 1 для острого угла α
  6.       Докажите, что если из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра. Равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше
  7.       Докажите неравенство треугольника
  8.       Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон
  9.       Дайте определения синуса, тангенса и котангенса острого угла. Докажите, что они зависят только от градусной меры угла.
  10.   Как выражается катет прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол, через острый угол и другой катет?
  11.   Докажите тождества: sin2α + cos2α = 1; 1 + tg2α = 1 / cos2α; 1 + ctg2α = 1 / sin2α
  12.   Докажите, что для любого острого угла α: sin (90° - α) = cos α, cos (90° - α) = sin α
  13.   Чему равны значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30°, 45°, 60°?
  14.   Докажите, что sin α и tg α возрастают при возрастании острого угла α, а cos α и ctg α убывают
Задачи  

§ 8. Декартовы координаты на плоскости

 

  
71. Определение декартовых координат  
72. Координаты середины отрезка  
73. Расстояние между точками  
74. Уравнение окружности  
75. Уравнение прямой  
76. Координаты точки пересечения прямых  
77. Расположение прямой относительно системы координат  
78. Угловой коэффициент в уравнении прямой  
79. График линейной функции  
80. Пересечение прямой с окружностью  
81. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса для любого угла от 0° до 180°  
Контрольные вопросы
  1.       Объясните, как определяются координаты точки
  2.       Какие знаки у координат точки, если она принадлежит первой (второй, третьей, четвертой) четверти?
  3.       Чему равны абсциссы точек, лежащих на оси ординат? Чему равны ординаты точек, лежащих на оси абсцисс? Чему равны координаты начала координат?
  4.       Выведите формулы для координат середины отрезка
  5.       Выведите формулу для расстояния между точками
  6.       Что такое уравнение фигуры в декартовых координатах?
  7.       Выведите уравнение окружности
  8.       Докажите, что прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида ax + by + c = 0
  9.       Как найти координаты точек пересечения двух прямых, если заданы уравнения этих прямых?
  10.   Как расположена прямая, если в ее уравнении коэффициент a = 0 (b = 0, c = 0)?
  11.   Что такое угловой коэффициент прямой и каков его геометрический смысл?
  12.   Докажите, что график линейной функции – прямая
  13.   При каком условии прямая и окружность не пересекаются, пересекаются в двух точках, касаются?
  14.   Дайте определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для любого угла от 0° до 180°
  15.   Докажите, что для любого угла α (0° < α < 180°) sin (180° - α) = sin α, cos (180° - α) = -cos α, ctg (180° - α) = -ctg α
Задачи  

§ 9. Движение

 

  
82. Преобразование фигур  
83. Свойства движения  
84. Симметрия относительно точки  
85. Симметрия относительно прямой  
86. Поворот  
87. Параллельный перенос и его свойства  
88. Существование и единственность параллельного переноса. Сонаправленность полупрямых  
89. Геометрические преобразования на практике  
90. Равенство фигур  
Контрольные вопросы
  1.       Какое преобразование фигуры называется движением?
  2.       Докажите, что точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения
  3.       Во что переходят прямые, полупрямые, отрезки при движении?
  4.       Докажите, что при движении сохраняются углы
  5.       Объясните, какие точки называются симметричными относительно данной точки
  6.       Какое преобразование называется симметрией относительно данной точки?
  7.       Какая фигура называется центрально-симметричной?
  8.       Что такое центр симметрии фигуры? Приведите пример центрально-симметричной фигуры
  9.       Докажите, что симметрия относительно точки есть движение
  10.   Какие точки называются симметричными относительно данной прямой?
  11.   Какое преобразование называется симметрией относительно данной прямой?
  12.   Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?
  13.   Что такое ось симметрии фигуры? Приведите пример
  14.   Докажите, что симметрия относительно прямой есть движение
  15.   Какое движение называется поворотом?
  16.   Что такое параллельный перенос?
  17.   Какие вы знаете свойства параллельного переноса?
  18.   Докажите существование и единственность параллельного переноса, переводящего данную точку в другую данную точку
  19.   Какие полупрямые называются одинаково направленными; противоположно направленными?
  20.   Докажите, что если полупрямые a и b одинаково направлены и полупрямые b и c одинаково направлены, то полупрямые a и c тоже одинаково направлены
  21.   Какие фигуры называются равными?
  22.   Какие геометрические фигуры и их свойства можно увидеть на фотографиях (с. 125-133)? Приведите свои примеры из окружающего мира
Задачи  

§10. Векторы

 

  
91. Абсолютная величина и направление вектора  
92. Равенство векторов  
93. Координаты вектора  
94. Сложение векторов  
95. Сложение сил  
96. Умножение вектора на число  
97. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам  
98. Скалярное произведение векторов  
99. Разложение вектора по координатным осям  
Контрольные вопросы
  1.       Что такое вектор? Ка обозначаются векторы?
  2.       Какие векторы называются одинаково направленными (противоположно направленными)?
  3.       Что такое абсолютная величина вектора?
  4.       Что такое нулевой вектор?
  5.       Какие векторы называются равными?
  6.       Докажите, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно: одинаково направленные векторы, равны по абсолютной величине, равны
  7.       Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и только один
  8.       Что такое координаты вектора? Чему равна абсолютная величина вектора с координатами a1, a2?
  9.       Докажите, что равные векторы имеют соответственно равные координаты, а векторы с соответственно равными координатами равны
  10.   Дайте определение суммы векторов
  11.   Докажите, что для любых векторов  a ̅  и b ̅   a ̅+b ̅= b ̅+ a ̅  .
  12.   Докажите, что для любых трех векторов a ̅,b ̅,c ̅     a ̅+(b ̅+ c ̅ )=(a ̅+ b ̅ )+ c ̅
  13.   Докажите, что для получения суммы векторов  a ̅  и b ̅ надо от конца вектора  a ̅ отложить вектор (b’) ̅ равный b ̅. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора a ̅, а конец – с концом вектора (b’) ̅, равен a ̅+b ̅
 
14.   Сформулируйте «правило параллелограмма» сложения векторов
  15.   Дайте определение разности векторов
  16.   Дайте определение умножения вектора на число
  17.   Докажите, что абсолютная величина вектора λā при ā ≠ 0 ̅ совпадает с направлением вектора ā, если λ > 0, и противоположно направлению вектора ā, если λ < 0
  18.   Какие векторы называются коллинеарными?
  19.   Докажите, что если векторы a ̅  и b ̅ отличны от нулевого вектора и не коллинеарны, то любой вектор c ̅ можно представить в виде c ̅ = λā + μ b ̅
 
20.   Дайте определение скалярного произведения векторов
  21.  Докажите, что для любых трех векторов a ̅,b ̅,c ̅     (a ̅+b ̅ ) c ̅=a ̅c ̅+b ̅c ̅
 
22.   Как определяется угол между векторами?
  23.   Чему равен угол между одинаково направленными векторами?
  24.   Докажите, что скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними
  25.   Докажите, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. И обратно: если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны
Задачи  
   

9 КЛАСС

 

§11. Подобие фигур

 

  
100. Преобразование подобия  
101. Свойства преобразования подобия  
102. Подобие фигур  
103. Признак подобия треугольников по двум углам  
104. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними  
105. Признак подобия треугольников по трём сторонам  
106. Подобие прямоугольных треугольников  
107. Углы, вписанные в окружность  
108. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности  
109. Измерение углов, связанных с окружностью  
Контрольные вопросы
  1.       Что такое преобразование подобия?
  2.       Что такое гомотетия (центр гомотетии, коэффициент гомотетии)?
  3.       Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия
  4.       Какие свойства преобразования подобия вы знаете? Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми
  5.       Какие фигуры называются подобными?
  6.       Каким знаком обозначается подобие фигур? Как записывается подобие треугольников?
  7.       Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум углам
  8.       Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
  9.       Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трем сторонам
  10.   Докажите, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу
  11.   Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу
  12.   Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам
  13.   Что такое плоский угол?
  14.   Что такое центральный угол?
  15.   Какой угол называется вписанным в окружность?
  16.   Докажите, что вписанный в окружность угол равен половине соответствующего центрального угла
  17.   Докажите свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства отрезков секущих
Задачи  

§ 12. Решение треугольников

 

  
110. Теорема косинусов  
111. Теорема синусов  
112. Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами  
113. Решение треугольников  
Контрольные вопросы
  1.       Докажите теорему косинусов
  2.       Докажите, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «±» удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой. От чего зависит знак «+» или «-»?
  3.       Докажите теорему синусов
  4.       Докажите, что в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и против большего угла лежит большая сторона
Задачи  

§ 13. Многоугольники

 

  
114. Ломаная  
115. Выпуклые многоугольники  
116. Правильные многоугольники  
117. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников  
118. Построение некоторых правильных многоугольников  
119. Вписанные и описанные четырёхугольники  
120. Подобие правильных выпуклых многоугольников  
121. Длина окружности  
122. Радианная мера угла  
Контрольные вопросы
  1.       Что такое ломаная, длина ломаной?
  2.       Докажите, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы
  3.       Что такое многоугольник, выпуклый многоугольник?
  4.       Что такое плоский многоугольник?
  5.       Что такое угол выпуклого многоугольника при данной вершине?
  6.       Выведите формулу для суммы углов выпуклого многоугольника
  7.       Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?
  8.       Докажите, что правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности
  9.       Что называется центром многоугольника? Центральным углом многоугольника?
  10.   Выведите формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей правильного n-угольника
  11.   Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника, четырехугольника (квадрата), шестиугольника
  12.   Как построить правильный выпуклый шестиугольник, треугольник, четырехугольник, восьмиугольник?
  13.   Докажите, что правильные выпуклые n-угольники подобны. В частности, если у них стороны одинаковы, то они равны
  14.   Докажите, что отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т.е. одно и то же для всех окружностей
  15.   По какой формуле вычисляется длина окружности?
  16.   По какой формуле вычисляется длина дуги окружности?
  17.   Что такое радианная мера угла?
  18.   Чему равны радианные меры углов 180° и 90°?
Задачи  

§ 14. Площади фигур

 

  
123. Понятие площади  
124. Площадь прямоугольника  
125. Площадь параллелограмма  
126. Площадь треугольника  
127. Равновеликие фигуры  
128. Площадь трапеции  
129. Формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника  
130. Площади подобных фигур  
131. Площадь круга  
Контрольные вопросы
  1.       Сформулируйте свойства площади для простых фигур
  2.       Докажите, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон
  3.       Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне
  4.       Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне
  5.       Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними
  6.       Докажите, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту
  7.       Как относятся площади подобных фигур?
  8.       Выведите формулу площади круга
  9.       По каким формулам вычисляются площади кругового сектора и кругового сегмента?
Задачи  

§ 15. Элементы стереометрии

 

  
132. Аксиомы стереометрии  
133. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве  
134. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве  
135. Многогранники.  
Задачи  
136. Тела вращения  
Задачи  
   
Ответы и указания к задачам (надо перенести в соответсвующую колонку, рядом с задачей)  
Предметный указатель (список слов) в эту графу
   

10-11 класс

 
Геометрия. Учебник для 10-11 классов.  Погорелов А.В.    
http://www.alleng.ru/d/math/math63_2.htm
СОДЕРЖАНИЕ  
10 КЛАСС  

§ 1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия

 

  
1. Аксиомы стереометрии   
2. Существование плоскости, проходящей через данную прямую и данную точку  
3. Пересечение прямой с плоскостью  
4. Существование плоскости, проходящей через три данные точки  
5. Замечание к аксиоме I    
6. Разбиение пространства плоскостью на два полупространства  
Контрольные вопросы 10.
  1.       Что такое стереометрия?
  2.       Назовите основные фигуры в пространстве
  3.       Сформулируйте три аксиомы стереометрии
  4.       Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну
  5.       Докажите, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости
  6.       Докажите, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну
Задачи 10.  

§ 2. Параллельность прямых и плоскостей

 

  
7. Параллельные прямые в пространстве 11.  
8. Признак параллельности прямых 13.  
9. Признак параллельности прямой и плоскости 14.  
10. Признак параллельности плоскостей 15.  
11. Существование плоскости, параллельной данной плоскости 16.  
12. Свойства параллельных плоскостей 17.  
13. Изображение пространственных фигур на плоскости 18.  
Контрольные вопросы 20.
  1.       Какие прямые в пространстве называются параллельными?
  2.       Какие прямые называются скрещивающимися?
  3.       Докажите, что через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну
  4.       Докажите признак параллельности прямых
  5.       Что значит: прямая и плоскость параллельны?
  6.       Докажите признак параллельности прямой и плоскости
  7.       Какие плоскости называются параллельными?
  8.       Докажите признак параллельности плоскостей
  9.       Докажите, что через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну
  10.   Докажите, что если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны
  11.   Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны
  12.   Перечислите свойства параллельного проектирования
  13.   Что такое центральное проектирование и чем оно отличается от параллельного проектирования?
Задачи 20.  

§ 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей

 

  
14. Перпендикулярность прямых в пространстве 25.  
15. Признак перпендикулярности прямой и плоскости 26.  
16. Построение перпендикулярных прямой и плоскости 27.  
17. Свойства перпендикулярных прямой и плоскости 28.  
18. Перпендикуляр и наклонная 30.  
19. Теорема о трех перпендикулярах 31.  
20. Признак перпендикулярности плоскостей 32.  
21. Расстояние между скрещивающимися прямыми 33.  
22. Применение ортогонального проектирования в техническом черчении 34.  
Контрольные вопросы 35.
  1.       Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?
  2.       Докажите, что пересекающиеся прямые, соответственно параллельные перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны
  3.       Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости
  4.       Докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости
  5.       Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой
  6.       Докажите, что две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны
  7.       Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки на плоскость?
  8.       Что называется расстоянием от точки до плоскости?
  9.       Что такое наклонная, проведенная из данной точки к плоскости? Что такое проекция наклонной?
  10.   Докажите теорему о трех перпендикулярах
  11.   Какие плоскости называются перпендикулярными?
  12.   Докажите признак перпендикулярности плоскостей
  13.   Что такое общий перпендикуляр скрещивающихся прямых?
  14.   Докажите, что скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом только один. Он является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые
  15.   Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?
Задачи 35.  

§ 4. Декартовы координаты и векторы в пространстве

 

  
23. Введение декартовых координат в пространстве 42.  
24. Расстояние между точками 43.  
25. Координаты середины отрезка 44.  
26. Преобразование симметрии в пространстве 45.  
27. Симметрия в природе и на практике 46.  
28. Движение в пространстве 46.  
29. Параллельный перенос в пространстве 47.  
30. Подобие пространственных фигур 48.  
31. Угол между скрещивающимися прямыми 49.  
32. Угол между прямой и плоскостью 51.  
33. Угол между плоскостями 52.  
34. Площадь ортогональной проекции многоугольника 53.  
35. Векторы в пространстве 54.  
36. Действия над векторами в пространстве 55.  
37. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам 56.  
38. Уравнение плоскости 57.  
Контрольные вопросы 59.
  1.       Объясните, как определяются координаты точки в пространстве
  2.       Выразите расстояние между двумя точками через координаты этих точек
  3.       Выведите формулы для координат середины отрезка через координаты его концов
  4.       Что такое преобразование симметрии относительно точки? Какая фигура называется центрально-симметричной?
  5.       Объясните, что такое преобразование симметрии относительно плоскости. Что такое плоскость симметрии фигуры?
  6.       Какое преобразование фигуры называется движением?
  7.       Докажите, что движение в пространстве переводит плоскость в плоскость
  8.       Какие фигуры в пространстве называются равными?
  9.       Дайте определение параллельного переноса
  10.   Перечислите свойства параллельного переноса
  11.   Докажите, что при параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную плоскость
  12.   Что такое преобразование подобия? Перечислите его свойства
  13.   Какое преобразование называется гомотетией? Докажите, что преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя)
  14.   Дайте определение угла между скрещивающимися прямыми
  15.   Дайте определение угла между прямой и плоскостью
  16.   Дайте определение угла между плоскостями
  17.   Докажите, что площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции
  18.   Что такое абсолютная величина вектора? Какие векторы называются одинаково направленными?
  19.   Дайте определение координат вектора с началом в точке А1 (х1; у1; z1) и концом в точке А2 (х2; у2; z2)
  20.   Дайте определение действий над векторами: сложения, умножения на число, скалярного произведения
  21.   Какие векторы в пространстве называются коллинеарными, компланарными?
  22.   Докажите, что любой вектор в пространстве можно разложить по трем некомпланарным векторам
  23.   Выведите уравнение плоскости
  24.   Какой геометрический смысл имеют коэффициенты a, b, c в уравнении плоскости ax + by + cz + d = 0?
  25.   По какой формуле вычисляется расстояние h от точки А (x; y; z) до плоскости, задаваемой уравнением ax + by + cz + d =0?
Задачи 60.  

11 КЛАСС

 

§ 5. Многогранники

 

  
39. Двугранный угол 66.  
40. Трехгранный и многогранный углы 67.  
41. Многогранник 68.  
42. Призма 69.  
43. Изображение призмы и построение ее сечений 70.  
44. Прямая призма 71.  
45. Параллелепипед 73.  
46. Прямоугольный параллелепипед 74.  
47. Пирамида 76.  
48. Построение пирамиды и ее плоских сечений 76.  
49. Усеченная пирамида 77.  
50. Правильная пирамида 79.  
51. Правильные многогранники 80.  
Контрольные вопросы 81.
  1.       Что такое двугранный угол (грань угла, ребро угла)?
  2.       Что такое линейный угол двугранного угла?
  3.       Почему мера двугранного угла не зависит от выбора линейного угла?
  4.       Объясните, что такое трехгранный угол (грани и ребра трехгранного угла)
  5.       Объясните, что такое плоские и двугранные углы трехгранного угла
  6.       Что такое многогранник?
  7.       Какой многогранник называется выпуклым?
  8.       Что такое грань выпуклого многогранника, ребро, вершина, развертка?
  9.       Что такое призма (основания призмы, боковые грани, ребра)?
  10.   Докажите, что у призмы основания лежат в параллельных плоскостях и равны, боковые ребра параллельны и равны, боковые грани – параллелограммы
  11.   Что такое высота призмы?
  12.   Что такое диагональ призмы?
  13.   Что представляет собой сечение призмы плоскостью, параллельной боковым ребрам, в частности диагональное сечение?
  14.   Как строится сечение призмы плоскостью, проходящей через данную прямую в плоскости основания призмы и данную точку на одной из боковых граней?
  15.   Какая призма называется прямой (наклонной)?
  16.   Какая призма называется правильной?
  17.   Что такое боковая (полная) поверхность призмы?
  18.   Докажите, что боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы
  19.   Что такое параллелепипед?
  20.   Докажите, что у параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны
  21.   Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам
  22.   Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии
  23.   Какой параллелепипед называется прямоугольным? Что такое линейные размеры прямоугольного параллелепипеда?
  24.   Что такое куб?
  25.   Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений
  26.   Сколько плоскостей симметрии у прямоугольного параллелепипеда?
  27.   Что такое пирамида (основание пирамиды, боковые грани, ребра, высота)?
  28.   Что представляют собой сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину?
  29.   Что такое диагональное сечение пирамиды?
  30.   Как построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данную прямую в плоскости основания пирамиды и заданную точку на одной из боковых граней?
  31.   Докажите, что плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду
  32.   Объясните, что такое усеченная пирамида
  33.   Какая пирамида называется правильной? Что такое ось правильной пирамиды?
  34.   Что такое апофема правильной пирамиды?
  35.   Докажите, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему
  36.   Какой многогранник называется правильным?
  37.   Перечислите типы правильных многогранников и опишите их
  38.   Сформулируйте теорему Эйлера для выпуклых многогранников
Задачи 83.  

§ 6. Тела вращения

 

  
52. Цилиндр 90.  
53. Сечения цилиндра плоскостями 91.  
54. Вписанная и описанная призмы 92.  
55. Конус 93.  
56. Сечения конуса плоскостями 94.  
57. Вписанная и описанная пирамиды 95.  
58. Шар 96.  
59. Сечение шара плоскостью 96.  
60. Симметрия шара 97.  
61. Касательная плоскость к шару 98.  
62. Пересечение двух сфер 99.  
63. Вписанные и описанные многогранники 100.  
64. О понятии тела и его поверхности в геометрии 101.  
Контрольные вопросы 102.
  1.       Объясните, что такое круговой цилиндр (образующая цилиндра, основания цилиндра, боковая поверхность цилиндра)
  2.       Какой цилиндр называется прямым?
  3.       Что такое радиус цилиндра, высота цилиндра, ось цилиндра, осевое сечение цилиндра?
  4.       Докажите, что плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания
  5.       Что такое призма, вписанная в цилиндр (описанная около цилиндра)? Что такое касательная плоскость к цилиндру?
  6.       Что такое круговой конус, вершина конуса, образующая конуса, основание конуса, боковая поверхность конуса?
  7.       Какой конус называется прямым?
  8.       Что такое высота конуса, ось конуса, осевое сечение конуса?
  9.       Докажите, что плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает боковую поверхность по окружности с центром на оси конуса
  10.   Что такое усеченный конус?
  11.   Какая пирамида называется вписанной в конус (описанной около конуса)? Что такое касательная плоскость к конусу?
  12.   Что такое шар (шаровая поверхность или сфера)?
  13.   Что такое радиус шара, диаметр шара? Какие точки шара называются диаметрально противоположными?
  14.   Докажите, что пересечение шара с плоскостью есть круг
  15.   Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара? Что такое большой круг?
  16.   Докажите, что любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии; центр шара является его центром симметрии
  17.   Какая плоскость называется касательной к шару?
  18.   Докажите, что касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания
  19.   Какая прямая называется касательной к шару?
  20.   Линия пересечения двух сфер есть окружность. Докажите
  21.   Какой многогранник называется вписанным в шар (описанным около шара)?
Задачи 103.  

§ 7. Объемы многогранников

 

  
65. Понятие объема 108.  
66. Объем прямоугольного параллелепипеда 108.  
67. Объем наклонного параллелепипеда 110.  
68. Объем призмы 111.  
69. Равновеликие тела 113.  
70. Объем пирамиды 114.  
71. Объем усеченной пирамиды 115.  
72. Объемы подобных тел 115.  
Контрольные вопросы 116.
  1.       Сформулируйте основные свойства объема
  2.       Докажите, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его линейных размеров
  3.       Докажите, что объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту
  4.       Докажите, что объем треугольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту
  5.       Докажите, что объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту
  6.       Докажите, что треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики
  7.       Выведите формулу для объема треугольной пирамиды
  8.       Докажите, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту
  9.       Докажите, что объемы подобных тел относятся как кубы соответствующих линейных размеров
Задачи 117.  

§ 8. Объемы и поверхности тел вращения

 

  
73. Объем цилиндра 121.  
74. Объем конуса 121.  
75. Объем усеченного конуса 122.  
76. Объем шара 123.  
77. Объем шарового сегмента и сектора 124.  
78. Площадь боковой поверхности цилиндра 125.  
79. Площадь боковой поверхности конуса 126.  
80. Площадь сферы 127.  
Контрольные вопросы 128.
  1.       Выведите формулу для объема цилиндра
  2.       Введите формулу для объема конуса
  3.       Выведите формулу для объема тел вращения
  4.       Выведите формулу для объема шара
  5.       Что такое шаровой сегмент? Выведите формулу для объема шарового сегмента
  6.       Что такое шаровой сектор? По какой формуле вычисляется объем шарового сектора?
  7.       По какой формуле вычисляется площадь боковой поверхности цилиндра?
  8.       По какой формуле находится площадь боковой поверхности конуса (боковой поверхности усеченного конуса)?
  9.       По какой формуле вычисляется площадь сферы?
Задачи 128.  

§ 9. Избранные вопросы планиметрии

 

  
81. Решение треугольников 132.  
82. Вычисление биссектрис и медиан треугольника 134.  
83. Формула Герона и другие формулы для площади треугольника 137.  
84. Теорема Чевы 139.  
85. Теорема Менелая 141.  
86. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников 143.  
87. Углы в окружности 146.  
88. Метрические соотношения в окружности 148.  
89. О разрешимости задач на построение 149.  
90. Геометрические места точек в задачах на построение 150.  
91. Геометрические преобразования в задачах на построение 151.  
92. Эллипс, гипербола, парабола 153.  
Контрольные вопросы 157.
  1.       Даны сторона и два угла треугольника. Как найти третий угол и две остальные стороны?
  2.       Даны две стороны треугольника и угол между ними. Как найти остальные два угла и третью сторону?
  3.       Даны две стороны треугольника и угол, противолежащий одной из них. Как найти остальные два угла и третью сторону?
  4.       Даны три стороны треугольника. Как найти его углы?
  5.       Сформулируйте и докажите свойство биссектрисы треугольника
  6.       Выведите формулы для вычисления биссектрис треугольника по его сторонам
  7.       Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон
  8.       Выведите формулы для вычисления медиан треугольника по его сторонам
  9.       Докажите формулу Герона для площади треугольника
  10.   Выведите формулы для вычисления высот треугольника по его сторонам
  11.   Выведите формулы для площади треугольника через его стороны и радиус описанной или вписанной окружности
  12.   Сформулируйте теорему Чевы и теорему Менелая
  13.   Докажите, что сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180°
  14.   Докажите, что если у выпуклого четырехугольника сумма противолежащих углов равна 180°, то около него можно описать окружность
  15.   Докажите, что в описанном четырехугольнике суммы противолежащих сторон равны
  16.   Докажите, что если у выпуклого четырехугольника суммы противолежащих сторон равны, то в него можно вписать окружность
  17.   Какая дуга окружности называется соответствующей данному центральному углу в окружности?
  18.   Докажите, что угол, вершина которого лежит внутри круга, равен полу сумме двух центральных углов, которым соответствуют дуги окружности, заключенные между сторонами данного угла и их продолжениями
  19.   Докажите, что угол, вершина которого лежит вне круга, а стороны пересекают его окружность, равен полу разности двух центральных углов, которым соответствуют дуги окружности, заключенные между сторонами данного угла
  20.   Сформулируйте и докажите теорему об угле между хордой и касательной
  21.   Докажите свойство отрезков пересекающихся хорд окружности
  22.   Сформулируйте и докажите свойство отрезков секущей и касательной к окружности
  23.   Какие геометрические места точек используются обычно при решении задач на построении?
  24.   Какие существует методы решения задач на построение с помощью геометрических преобразований?
  25.   Дайте определение эллипса (гиперболы, параболы) как геометрического места точек
  26.   При каком геометрическом условии сечение полной конической поверхности является эллипсом (гиперболой, параболой)?  

 

 

 

 

end faq

 

 

 

 

 

 

%MCEPASTEBIN%
Информация о материале
Просмотров: 2551